谨以此书纪念我的外祖父卡尔·施蒂费尔（Karl Stiefel，1881—1947），正是他培养了我对科学和音乐的热爱。 图片 前 言 伟大的作曲家伊戈尔·斯特拉文斯基（Igor Stravinsky）曾经说过：“音乐这种形式和数学较为接近——也许不是和数学本身相关，但肯定与数学思维和关系式有关。”的确，许多作家对数学与音乐之间的密切关系都曾加以评论。他们指出，很多科学家都喜欢聆听音乐，甚至亲自演奏乐器；每论及此，阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）和他那把标志性的小提琴就会浮现在我们的脑海中。除此之外，类似的例子不胜枚举。 这一说法可能是正确的，但是在过去，这两个领域之间的关系从未真正保持对称。例如，数学和音乐都采用某种行之有效的符号系统——一组书面符号（尽管音乐领域还有许多口头术语，更多地用于标识演奏时的情感），业内人士均能精确地领悟和把握。另外让人感兴趣的是，尽管数学领域由于新的分支不断涌现，其所采用的符号系统时至今日仍在不断发展，但这两套系统大致在相同的时间，即公元1 000年左右，开始起步。 数学和音乐也共享不少术语。以“调和”（harmonic）一词为例，它作为形容词时，意思是“悦耳的”；如果作为名词，指的则是所有乐器合奏时所形成的一系列高亢的泛音。如今，这个词在数学和音乐领域都得到广泛运用；两卷本的《百科全书数学词典》(Encyclopedic Dictionary of Mathematics)至少列出了20多个该词汇的用法，包括“调和平均数”（harmonic mean）、“调和级数”（harmonic series）、“调和分析”（harmonic analysis），以及“调和函数”（harmonic function）。其他通用的术语还包括“转位/逆”［inversion，音乐的音程（interval）的转位/相对于圆的某个点的…