引言 很难想象没有数学的世界是什么模样，没有数字，没有几何，没有代数与逻辑，更没有运算法则，没有办法量化世界。 人类对数学的理解最早可以追溯到数万年前。20世纪70年代，考古学家在非洲莱邦博（Lebombo）山脉发现了一块来自狒狒的小腿骨——“莱邦博骨”。它的特殊之处在于，骨头上有29个故意切开的缺口，据猜测是做标记用的。这块骨头的主人应该在计算一些东西——也许是猎物、敌人的数量，或者流逝的时间。 通过测量放射性碳，可以确定这块骨头来源于公元前4万年左右，这可以说是世界上最古老的数学文物了。 计数是数学最原始的分支。很明显，这是人类对世界的发现，而不是发明。假如我身边现在有一筐苹果，那么筐中苹果的数量是符合算术规则的。如果我往筐里放一个苹果，苹果的数量就会加一。不管人们是否理解，事实就是如此。 几何学也是这样。大约在公元前300年，古希腊哲学家欧几里得编撰《几何原本》，书中提出了关于圆、直线与角的性质的基本假设。这些都是用来描述这个世界的逻辑和推理规则，是对世界的发现，而不是发明。 然而，在过去，即使一些非常聪明的人也会持相反观点：数学只不过是人类思维的一种构造。20世纪伟大的英国天文学家亚瑟·爱丁顿（Arthur Eddington）爵士曾经表示：“数学在我们把它放在那里之前是不存在的。” 在某些特殊的情况下，或许真是这样。例如，“虚数”就是一种使负数的平方根具体化的构造。任取一个数的平方，你得到的总是正数。那么，如何才能对负数取一个有意义的平方根呢？意大利数学家拉斐尔·邦贝利在16世纪提出了这个问题的解决方法。将\(\sqrt{－1}\)记作虚数单位i，这样负数的任意平方根都可以表示为i的倍数，它也会遵循和普通数字相同的代数规则。这在当时听起来可能很荒谬，但在如今，关于波的理论、量子力学和数据分析的核心都是虚数。 图片 数学证明则是另一个例子，构造一个合理的数学证明需…