前言 20世纪初，伟大的数学家大卫·希尔伯特发现，有很多数学中的重要论点在结构上十分类似。他意识到，在适当的广义范畴下，这些论点事实上可以视为等同。与此类似的一系列发现为一个崭新的数学分支开启了大门。而这一新领域中的一个核心概念——希尔伯特空间——正是以希尔伯特的名字来命名的，这一概念使许许多多的现代数学研究变得清晰，范围之广包括了从数论直到量子力学各个分支，以至于如果你对希尔伯特空间的基本理论一无所知，你就根本不能算是一名受过良好教育的数学家。 那么，什么是希尔伯特空间呢？在典型的高校数学课程中，它被定义为“完备的内积空间”。修读这样一门课程的学生，理应从先修课程中了解到，所谓“内积空间”是指配备了内积的向量空间，而所谓“完备”是指空间中任意柯西列都收敛。当然，要想理解这样的定义，学生还必须知道“向量空间”、“内积”、“柯西列”和“收敛”的定义。就拿其中一个举例来说（这还并不是最长的一个）：序列\(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\)，…若满足对于任意正数ε，总存在整数N，使得对于任意大于N的整数p和q，\(x_p\)与\(x_q\)间的距离不大于ε，则称这个序列为柯西列。 简言之，如果你希望了解希尔伯特空间是什么，你就必须首先学习并且消化一系列由低到高、等级分明的较低级概念。毫无疑问这需要耗费时间和精力。对于许多最重要的数学思想来说都是这样。有鉴于此，要写一本书提供对数学的简单易懂的介绍，其所能达到的目标就极为有限，更何况这本书还需要写得很短。 我没有选择用更聪明的办法绕着这个难题走，而是集中关注数学交流中另一重完全不同的障碍。这重障碍并非技术性的，而更多属于哲学性质的。它区分开了两种人：一种人乐于接受诸如无穷大、负一的平方根、第二十六维和弯曲空间这样的概念，另一类人则觉得这些概念荒诞不经。其实无须沉浸在技术细节中，依然有可能坦然接受这些思想，我将努力表明如何做…