黎曼猜想漫谈

卢昌海
图片: 德国数学家波恩哈德・黎曼(1826—1866) 图片: 黎曼猜想的“诞生地”——黎曼的论文《论小于给定数值的素数个数》 《黎曼猜想漫谈》读后感(代序) 王元 一 随着公众数学水平的逐渐提高,越来越多的人知道黎曼(Riemann)猜想这个问题,我们将它记为RH。特别是RH曾被希尔伯特(Hilbert)列入他的二十三个问题的第八问题,现在又被列为克莱数学研究所提出的千禧年七大待解决难题之一,备受关注。不少人已经知道RH是数学中第一号重要问题。 但RH是个什么问题?为什么重要?至今似未见一篇有相当深度的普及文章来加以解释,常常需要参见数学专业著作与文献,才能得知一些。因此,一般人恐怕仅仅只知道有这么一个问题而已。 卢昌海在《数学文化》上的六期连载文章《黎曼猜想漫谈》,对RH相关问题作了详细的解释。文章中关于数学的阐述是严谨的,数学概念是清晰的。文字流畅,并间夹了一些流传的故事,以增加趣味性与可读性。从这几方面来看,都是一篇很好的雅俗共赏的数学普及文章。 数学普及文章最要紧的是严谨性,有一些普及文章像在讲故事,不谈数学本身,从而读者在读完后,会觉得不知其所以然,一头雾水。 二 RH发端于黎曼在1859年的一篇文章,其历史远比费马(Fermat)大定理(FLT)与哥德巴赫(Goldbach)猜想(GC)的历史短得多,而且不像这两个问题那样,只要有中小学数学知识的人,就知道其题意。 图片 图片 图片 RH与素数在自然数中的分布密切相关。我想一般关于RH的普及文章也就讲到这里了。 卢昌海的文章从这里讲起,他介绍了ζ(s)的开端,即欧拉(Euler)关于ζ(s)的工作,其中s为实变数,及高斯(Gauss)关于不超过x的素数个数π(x)的猜想: 图片 这是素数分布的中心问题。独立于高斯,勒让德(Legendre)也对π(x)作了猜想: 图片 图片 反之,由这个公式也可以推出…