图片: 普林斯顿高等研究院，1956年 推荐序 走在剃刀边缘 “纸牌反面那句话是对的”和“纸牌反面那句话是错的”这两句话单独拎出来看互相矛盾，显然不可能同时为真，只有一句话是对的。如果把它们写到纸牌的两面，会发现无论假设哪句正确都不行，都会陷入自我矛盾的拧巴中去。这个死循环就是大家都熟悉的纸牌悖论。这个小游戏可以在喝酒聊天的时候拿来欺负你的小伙伴。 在精致的数学系统中，这样的悖论被认为没有容身之地。20世纪初，大数学家希尔伯特认为数学象牙塔是“完备而且自洽”的。也就是说数学系统中的所有结果都是可以从一堆不会互相矛盾的公理中严格推导出来的。数学是个纯粹而干净的平行宇宙，可以无限生长，一砖一瓦地堆砌，而且所有的部件都稳定、坚固、环环相扣，没有漏洞。 世界是乱的，数学不是，数学是所有其他科学的基础——我猜测希尔伯特眼中的鄙视链大概长这个样子。 希尔伯特的这个猜想如果正确，那数学家要做的就是补足公理，其他的都是机械操作，数学王国必将独立而完整。纵观数学界积累下来的巨大成绩，他乐观地认为这个猜想不会有错，也号召数学家们行动起来，向这个方向努力。希尔伯特当时如日中天，影响力巨大，整个数学界沉浸在乐观的情绪中，向希尔伯特指明的方向前进。 1929年年底，哥德尔完成了一阶逻辑上的证明，向目标推进了一步，他的贡献超过了其他同行的总和。凭着区区两页纸的证明，哥德尔于第二年年初取得了维也纳大学的博士学位。那一年，哥德尔才23岁。 哥德尔在证明更复杂的二阶逻辑时向朋友们承认他“碰到了麻烦”。没有谁会想到，解决这个麻烦的后果是造成了更大的麻烦。半年后，他证明了希尔伯特猜想是不成立的：无法同时保证数学系统的自洽性和完备性。这个结果动摇了数学王国的根基，哥德尔动了所有人的奶酪。 不完备性定理的证明大致分成两大步骤，用了几乎是魔术师般神奇的手段。首先哥德尔做了个磁纸牌，可以把任何数学公式，包括数学…