前言 数学是人类精神能创造出的最美丽、最有力量的事物。 ——斯特凡·巴拿赫 当你深入了解万事万物，你会发现数学无所不在。 ——施克里特院长 数学是奇怪的。在数学世界里，数字可以无限增长——“无限”还可以有诸多不同的形式。质数可以帮助蝉生存下来。一个（数学上假想的）球可以被“切割”，再“重组”成原来的两倍甚至几百万倍大的球，并且没有任何空隙。有一些形状，其分数维数和曲线能足足填满整个平面。在听一次沉闷的讲座时，物理学家斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆写起了数字。他从 0 开始，按螺旋方式书写，然后圈出了所有的质数，发现大部分质数位于一条长对角线上——这个事实至今还没有被充分地解释。 我们常遗忘数学的奇妙，因为我们习惯把数学等同于在学校和日常生活中用到的数字计算。但出人意料的是，我们的大脑很擅长数学思维，如果我们愿意的话，也能够完成十分复杂和抽象的数学计算。毕竟，早在几万年或几十万年前，我们的祖先无须解微分方程和学习抽象代数，也能活得足够长，并把基因传给下一代。当他们寻找下一顿饱腹之餐或栖身之所时，沉思高维几何或者质数理论也没有任何帮助。但事实上，我们的大脑生来就有潜力去做这些事，并且随着时间流逝，还会发现数学宇宙中越来越多的真理。进化给了我们这项技能：但这是如何给的，为什么？为什么我们人类如此擅长做一些看起来只不过是智力游戏的事情？ 数学其实与现实生活深深交织在一起。挖掘得足够深，我们就会发现那些看似构成物质或能量的细小单位（例如电子或光子）其实是非物质性质的概率波，而我们得到的只是一些“幽灵似的名片”——形式略复杂但很美丽的数学方程式。某种程度上，数学支撑着我们周围的物理世界，构建了一个隐形的基础设施。但数学又超离现实，进入可能性的抽象领域，也许永远在进行纯粹的思维练习。 在本书中，我们介绍了数学中一些不同寻常又妙趣横生的领域，包括那些即将出现的令人兴奋的新发展。某些情况下，它们与科…