格点七巧板游戏十二讲
《格点七巧板游戏十二讲》适合七巧板课程开发者和巧板玩家
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作品简介
《格点七巧板游戏十二讲》是一部融合数学教育、游戏设计与儿童认知发展的创新教案合集。作者蒲定东基于六年小学社团教学实践，以七巧板为载体，重构经典数学原理，开创出"低门槛、高天花板"的趣味学习范式。全书通过十二个主题层层递进：前六讲聚焦基础理论，系统构建格点七巧板数学体系（凸性数、对称群、等价关系等）；后六讲侧重实践应用，涵盖勾股定理可视化证明、AI辅助编程等前沿领域。课程设计突出三大特色：1）范畴论视角下的数学抽象，将拼图操作升华为态射复合与函子映射；2）儿童认知驱动的知识生成，大量收录学生自发发现的数学规律；3）传统智力游戏与现代技术融合，探索计算机穷举证明与生成式AI的教学应用。
作品目录
引言
故事一：从源点射向靶点的箭头
故事二：无所不在的恒等对称
故事三：箭头的复合与因子化
故事四：“合三为一”，箭头复合的“结合性”和“单位性”
“范畴”的定义的三个层次：
第一层是Data
第二层是Structure
第三层是Properties
第一讲：格点七巧板游戏的基本游戏规则
（一）格点七巧板游戏要求所有拼块、所有拼图的顶点都落在格点上。
（二）拼块拼合要求“面接触”，彼此之间边与边对齐，不留缝隙，不交叠。
（三）“点接触”合法化的特殊情形：拼图具备整体凸性。
1. 虚拼块作为粘合剂：
2. 拓扑学视角：
3. 范畴论的普遍性：
（四）区分“有理边”与“无理边”，二年级薛壹航同学的发现。
（五）凸包的唯一性，以及更多种“无理边”，二年级代娜同学的发现。
第二讲：把玩“一巧板”
（一）正方形七巧图是不是只有一种拼搭方法？
（二）吉思宇同学发现恒等变换
（三）等价关系弱于恒等变换的自同构变换
（四）对称变换是一种自同构变换
关于自同构变换的变换本质：
平移变换：
旋转变换：
翻转变换：
伸缩变换：
（五）正方形拼板与九宫格游戏
“不变量”很重要：
意外收获：学生发现双向性
现在我们可以看到：
这更好地展示了：
（六）《洛书》九宫格的自同构变换
（七）对偶变换
（八）对偶性 (Duality)小结：
第三讲：把玩二巧板
（一）《几何原本》第四公理
（二）《几何原本》第二公理和第三公理
（三）《几何原本》第五公理和第一公理
（四）拓展阅读
1.等价关系的范畴论解读：
2. 操作的范畴化：
3. 自然变换的体现：
4. 对偶性(Duality)：
5. 从教学法角度看，这种方法体现了范畴论的一个重要思想：
6. 复合封闭性：
7. 保持不变量：
（五）《几何原本》公理的视角
（六）数学游戏与认知发展的结合：
第四讲：一分为二，合二为一
（一）割补操作与化归策略
第一个操作是“划分”，
第二个操作是“拆分”，
第三个操作是“变换”，
第四个操作是“对位”，
第五个操作是“拼合”，
第六个操作是“连通”，
（二）拓展阅读：
（三）哲学思考与抽象意义
第五讲：把玩三巧板，按凸性数分类
（一）枚举三巧板的拼图可能
1.传统的凸多边形拼图
2.允许有空洞的凸多边形拼图
3. 偏凸边形拼图
4. 拼图的凸包围与凸包
5. 课后练习
（二）拓展阅读：
1.函子(Functor)角度：
2.等价关系(Equivalence)视角：
3.变换群(Transformation Group)思想：
4.凸性数作为不变量(Invariant)
（三）本讲总结
第六讲：相似与等角共形
（一）把玩中发现相似与等角共形
（二）相似三角形序列展示的连续旋转与伸缩
（三）二年级薛壹航的故事：
（四）共形变换
第七讲：双胞胎拼图及其构造的拼图
（一）平凡双胞胎拼图
（二）直角梯形双胞胎拼图
（三）灵巧五兄弟双胞胎拼图
（四）用完整七巧板拼搭双胞胎拼图，及其构造的拼图
（五）本讲总结：
第八讲：将拼图子图视作子块
（一）组合块在把玩中的自然运用
示例：
课后练习
（二）核心概念整理：
1. “无关性”与“自由度”的层级调整：
2. “分合技巧”的平衡：
（三）拓展阅读
1. 从范畴论视角理解“子拼图”
2. “降级”策略的数学意义
（四）补充解读
认知层面
操作层面
策略层面
优化策略
（五）总结
第九讲：轮廓与细节，将拼块嵌入剪影
（一）剪影的轮廓与细节
（二）拼块嵌入剪影的规则
（三）拼块嵌入剪影的两个基本技巧
1. 先大后小；
2. 利用区域分割；
（四）典型剪影示例
（五）七巧悖论图的原理
（六）本讲总结：
第十讲：七巧连方与图证勾股定理
（一）两类正方形基底及其连方
1.有理边正方形；
2.无理边正方形；
3. 有理边与无理边的转换
（二）带有凸空洞的正方形格点拼图；
（三）图证勾股定理
（四）等腰直角三角形图证勾股定理
（五）本讲总结
第十一讲：探索“差拼巧图”
（一）差拼巧图的形状变化与面积不变；
（二）差拼巧图的定义：
（三）差拼巧图链的面积关系；
（四）推而广之；
（五）总结：
第十二讲：两种图的对应与转换
（一）“数学”一词的起源
（二）两种图的对应与转换
（三）2023年春季学期，同学们的探索。
1. 空间三棱锥结构（Tetrahedral Structure）:
2. 筒面上的区域划分（Cylinder Partitioning）：
3. 球面上的区域划分（Sphere Partitioning）:
4. 三棱锥套娃（超三棱锥）的邻接关系
（四）结语
新时代：用拼图游戏磨合你的AI助手
（一）好奇心是游戏的本质
（二）计算机辅助七巧板研究
（三）格点七巧板研究的起源与发展
（四）普通人借助AI编写计算机程序
（五）AI辅助编程：从小白到实践
（六）结语：AI时代的七巧板探索
后记
（一）一年一度的马丁·加德纳聚会
（二）檀小的信任和认可
（三）格点七巧板创客团队
（四）相互学习